Головна Головна -> Підручники -> Підручник Страхування (Осадець С.С.) скачати онлайн-> ЧАСТИНА 7. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТРАХОВИКА Розділ 18. Визначення страхових тарифів 18.1. Математичні основи обчислення тарифних ставок

ЧАСТИНА 7. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТРАХОВИКА Розділ 18. Визначення страхових тарифів 18.1. Математичні основи обчислення тарифних ставок



Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовірністю.

Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини x (або інтегральною функцією) називається функція, яка кожному числу x ставить у відповідність імовірність того, що x набуде значення, меншого за x:

.

Функція визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:

;

якщо , то ;

;

;

.

Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні та абсолютно неперервні.

Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році або кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.

Якщо функцію розподілу випадкової величини x можна подати у вигляді

,

де деяка невід’ємна функція, то випадкова величина x називається абсолютно неперервною, а функція щільністю розподілу випадкової величини x. Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.

Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:

,

де xi — значення, яких набуває випадкова величина; pi — ймовірності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:

,

де px — щільність випадкової величини x. Якщо випадкова величина невід’ємна (0 £ x), математичне сподівання можна обчислити за формулою:

.

Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин x, zвиконуються такі властивості математичного сподівання:

;

;

.

Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини x від її середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

.

Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

;

;

;

,

де a, b — довільні сталі; x — випадкова величина. Якщо випадкова величина невід’ємна, дисперсію можна обчислити за формулою:

.

Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії:

.

Відношення стандартного відхилення випадкової величини x до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації:

.

Для випадкової величини x квантилем рівня a (або a-квантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності a єкоренем рівняння

.

Незалежність випадкових величин. Випадкові величини x та z називаються незалежними, якщо за відомим значенням величини x не можна зробити жодних висновків стосовно значення z, і навпаки, значення z ніяк не впливає на обізнаність із величиною x. Формально випадкові величини x та zназиваються незалежними, якщо при будь-яких значеннях a та b імовірність події є добутком імовірностей подій та:

.

Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай h — кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, x — відповідна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протягом року виплат у страховика немає. Цей факт можна записати кількома способами:

;

;

.

Отже, . Це означає, що випадкові величини h і x залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.

Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини x та z незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:

;

.

Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини x, але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень x1, x2, x3, …, xn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини

і

відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:

,

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової величини:

.

Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.

Еквівалентність фінансових зобов’язань як еквівалентність сподіваних значень. Зобов’язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов’язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай p означає суму зібраних страховиком премій, Х — сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризикстраховикає сподіване (середнє) значення випадкової величини Х:

.

У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.

Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії розорення. Зобов’язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за M[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L. Із цього погляду справджується співвідношення:

.

Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавкиL та страхової премії p? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.

Факт розорення страховика описується співвідношенням UpX, деU — розмірвласних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює .

Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення a, то він має забезпечити розмір страхових премій p таким, щоб виконувалося співвідношення:

.

Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для страховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.

Принцип еквівалентності зобов’язань у термінах теорії розорення має математично обґрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.

Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика, що ґрунтується на теорії корисності.

Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функцією корисності називають функцію u(x), яка має такі властивості:

функція u зростаюча — u(x) > u(y) при x > y;

функція u задовольняє нерівність Єнсена ;

функція u задовольняє умову нульової корисності .

Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових сум. Вона має суб’єктивний характер, включаючи психологічний компонент.

За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:

.

Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну та квадратичну функції корисності.

Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адекватної функції корисності.








Популярні глави цього підручника:



Всі глави цього підручника:

Страхування (Осадець С.С.)