Головна Головна -> Підручники -> Підручник Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій) скачати онлайн-> § 4. Аксіоматика в логіці й математиці

§ 4. Аксіоматика в логіці й математиці


До початку XIX ст. вчені вважали, що всі математичні постулати та базисні означення є абсолютно! вірогідними й самоочевидними, інтуїтивно ясними. Сучасні математики й логіки відкидають це положення, пропонуючи розглядати постулати й означення як умовно обрані висловлення, що забезпечує більшу свободу в разі їх вибору. Свого часу в результаті такого розкріпачення наукового мислення на світ з’явилися неевклідові геометри та булева алгебра.
Нагадаємо, що строго формальний опис алгебри типу! булевої має аксіоматичний характер. Йдеться про де-І дуктивну систему, в якій теореми доводяться на основі аксіом та означень.
Завдяки відмові від ставки на інтуїтивну очевидність деяких істин математики й логіки виявилося, що у формальному плані аксіоми мають відповідати вимогам н е-\ суперечності, повноти й незалежності\ Ці абстрактні вимоги є противагою образності й передбачають вироблення нового типу мислення та пам’яті. РозЧ глянемо, у чому вони полягають.
1. Систему аксіом називають несу перечною, якщо з цих аксіом не можна зробити два взаємовиключні висновки.
2. Система аксіом називається повною, якщо вона припускає лише одну реалізацію, тобто якщо дві будь-які моделі цієї системи аксіом збігаються, або, як говорять, є ізоморфними. Дві моделі аксіоматичної системи називаються ізоморфними, якщо між: елементами, що утворюють ці моделі, можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Інакше кажучи, дві ізоморфні моделі являють собою один і той же математичний об’єкт, тільки описаний різними мовами. 3. Система аксіом називається незалежною, якщо жодну з аксіом цієї системи не можна вивести з інших аксіом, тобто довести як теорему, базуючись на решті аксіом системи.
Головним стимулом поширення аксіоматичного методу в сучасній математиці й математичній логіці слід вважати революційні зміни в математиці, початок яким було покладено працями М. І. Лобачевського (1792— 1856) і Я. Бояї (1802— 1860). Ці вчені виявили, що можна побудувати несуперечну геометрію, виходячи з аксіом, які не здаються очевидними, на відміну від евклідових. На зміну інтуїтивно очевидному прийшли незвичні форми доведень, які не потребували наочності. Однак виникала потреба в новому виді пам’яті для кодування абстрактних означень і формул.
Питання про те, чи є постулат про паралельні Евкліда* незалежною аксіомою, чи його можна вивести з інших аксіом, цікавило математиків протягом двох тисяч років.
Першим відповів на зазначене питання німецький математик К. Ф. Гаусе (1777— 1855), проте його не почули з тієї причини, що він сам цього не захотів. Публічно «єретичну» думку про можливість нетрадиційних геометрій, Що ґрунтуються на іншому наборі аксіом, ніж аксіоми Евкліда, висловили тільки Лобачевський і Бояї.
З розвитком ідей неевклідових геометрій виникла можливість заявити: даремно шукати в аксіомах математики Щось наочне, очевидне, таке, що не викликає сумнівів. Математичні аксіоми істинні лише тією мірою, якою доводяться теореми, що з них випливають.
Позбавляючи більшість наукових понять очевидного чи інтуїтивно очевидного змісту, ми не збіднюємо їх. За нового погляду на предмети теоретичного пізнання навіть високі абстракції перестають здаватися чимось сухим і беззмістовним. Це стосується й такого загадкового поняття, як «нескінченність», що відіграло важливу роль у розвитку сучасної математики й логіки.
* Евклід — давньогрецький математик III ст. до н. є.
Неодноразово траплялися непорозуміння через те, що люди намагалися перенести на нескінченність принципи й методи, узяті зі скінченного світу. І кожного разу Не-! скінченність «ламала» найхитромудріші теорії. Та знайшовся сміливець, який спробував якщо не перехитрити, тої хоча б краєчком ока поглянути на поняття нескінченності.; Цим сміливцем був Г. Кантор, створивший теорію мно-1 жин, яку було визнано наріжним каменем усієї математики, сполучною ланкою між логікою й математикою. Нині багато сучасних учених вбачають у теорії множин схему будь-якої дедуктивної теорії.


Загрузка...

Популярні глави цього підручника:



Всі глави цього підручника:

Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій)