Головна Головна -> Підручники -> Підручник Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій) скачати онлайн-> § 7. Поглиблене розуміння аксіоматичного методу

§ 7. Поглиблене розуміння аксіоматичного методу


Як уже зазначалося, стрімке зростання популярності аксіоматичного методу зумовлене свободою у виборі способів визначення математичних об’єктів і відношень між ними. Вчений-теоретик, не скутий вимогами емпіричного вивчення якихось фізичних об’єктів, лише стежить за тим, щоб його теоретичні твердження хоча б у ідеалі виконувались для якихось конкретних об’єктів. В основі таких тверджень лежать первинні твердження, які тим чи іншим чином вказують на властивості об’єктів теоретичного конструювання, вирізняючи їх із безлічі інших можливих об’єктів. Ці твердження є базисними й називаються аксіомами.
Якщо для якоїсь конкретної сукупності об’єктів деякі введені аксіоми виявляються істинними, то говорять, що дана сукупність об’єктів задовольняє систему цих аксіом, або є її інтерпретацією.
Для практики наукового пізнання важливим у використанні аксіоматичного методу є одержання разом із висновками з аксіом тверджень, що є істинними для будь-якої системи об’єктів, яка задовольняє такі аксіоми.
Зрозуміло, що відповідність між аксіомами й предметами об’єктивної реальності ніколи не буває прямою. Якщо ставиться запитання про подібну відповідність, то Для відповіді на нього необхідно залишити сферу «чистого Розуму» і вийти у сферу прикладних знань, щоб наповнити конкретним змістом аксіоматичні побудови. Наприклад, Можна спробувати наповнити фізичним змістом аксіоми геометрії Евкліда чи Лобачевського. Однак для цього слід указати на фізичні реалії, що відповідають, наприклад, термінам «точка» або «пряма», які є в аксіомах. Лише після цього аксіоми перетворюються на фізичні твердження, які можна піддати експериментальній перевірці.
Під час розгляду будь-якої системи аксіом виникают специфічні питання, які розв’язуються за допомого інтерпретації, зокрема питання про несуперечність сис теми аксіом. Поява несумісних тверджень, виведених прийнятої системи аксіом, свідчить про те, що її не можі задовольняти ніяка система об’єктів. Щоб бути впевнени у надійності обраної системи аксіом, у її несуперечності необхідно виробити методи точної інтерпретації тако’ системи.
Аксіому вважають незалежною в даній системі, якщо вона невивідна з решти аксіом цієї системи, не дублює їх. Для доведення незалежності будь-якої аксіоми досит знайти систему об’єктів, яка б задовольняла всі аксіоми системи, крім самої аксіоми. Отже, для користування системою аксіом треба мати такі об’єкти, які можуть бут точною інтерпретацією цієї системи аксіом.
Джерелом інтерпретації на теоретичному рівні є математичні поняття й, передусім, поняття теорії множин, що відображають принципи побудови множин.
Інтерпретація аксіоматичних систем найтісніше по в’язана з питанням розв’язності абстрактно-теоретичних побудов.
У логіці вважають, що розв’язна теорія неодмінно є! аксіоматизованою. Припустімо, що це так, і задамо певну! множину формул, які називаються аксіомами, а також] певне відношення між формулами, через що формула] називається такою, що випливає (є вивідною) з деяких! інших формул за певними правилами виведення. Скінченна послідовність формул називається доведенням, якщо кожна формула з цієї послідовності або є аксіомою, аба випливає з попередніх формул послідовності за правилами] виведення. Формула, для якої існує доведення, називається теоремою.
З означення поняття доведення випливає, що для будь-j якої заданої скінченної послідовності формул існує прос-І тий спосіб перевірки, чи є така послідовність доведенням]
Аксіоматизована теорія зовсім не обов’язково є розв’язною. Річ у тім, що пошуки доведення для якоїсь конкретної формули, якщо вони безрезультатні, не дають змоги дійти висновку, чи взагалі можливе таке доведення.
Аксіоматизована теорія розв’язна тоді, коли є суто механічний спосіб перевірки, застосовний до будь-якої формули. За таким способом перевірки визначають, чи належить формула до теорії. Через цю обставину дедуктивна аксіоматизована теорія є в певному розумінні розкішшю, хоч інколи виписати велику кількість аксіом і правил виведення виявляється справою відносно простою.
Якщо йдеться про формулу певної теорії, то мається на увазі не сама математична формула, а якийсь вираз теоретичної мови, що розглядається як твердження. Щоб ефективно систематизувати наукові знання, слід навчитися здійснювати процедури виведення. Для цього виходять із певної системи тверджень, з якої, прямо чи непрямо, виводять решту тверджень. Отже, аксіоматичний метод полягає в такій організації наукового знання, коли з усіх істинних тверджень обирається певна підмножина, з якої можна вивести решту істинних тверджень даного розділу науки.
Формули-твердження називаються виконуваними, якщо існує оцінка, за якої такі формули набувають, наприклад, значення «істина». Якщо ж такої оцінки нема, то говорять, що вказані формули невиконувані, тобто їх значення — «лож».
Кожна виконувана множина формул несуперечна. Правильною є також обернена теорема, а саме: кожна несуперечна множина формул виконувана.
Переклавши вищенаведене на мову булевої алгебри, говорять, що будь-який вираз у вигляді множини (символів) слід розглядати як булеву функцію, а запис цих виразів ~ як формули. Наприклад, окремі літери латинського алфавіту (А, В, С, …) і будь-які їх комбінації (множини) є булевыми функціями множин.
З матеріалу, викладеного в даній главі, важливо усвідомити, що сучасна логіка, яка виникла з розв’язання задач стосовно зміцнення основ математики, пройшла кілька стадій у своєму розвитку. На першій стадії вона виконувалася всередині математики. З виникненням метаматематики, або теорії доведень, логіка дістала певну незалежність, стала строго формалізованою, орієнтованою на вивчення основ і структури математичного знання. Для третьої стадії, яку умовно називають металогікою, харак-j терним є висування на перші позиції досліджень методологічних проблем формальної логіки, що зачіпають! філософські питання теорії пізнання.
Від еволюції сучасної математичної логіки, взявши до відома деякі з принципів її побудови й функціонування, перейдемо до детальнішого засвоєння елементарних основ] логічної науки.


Загрузка...

Популярні глави цього підручника:



Всі глави цього підручника:

Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій)