Головна Головна -> Підручники -> Підручник Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій) скачати онлайн-> § 18. Квантори й змінні: істотні уточнення

§ 18. Квантори й змінні: істотні уточнення


Як вже зазначалося, одним із важливих способів одержання висловлення з пропозиційної функції є зв’язування вільних змінних за допомогою кванторів. Наприклад, з пропозиційної функції «х — бравий солдат» за допомогою квантора існування маємо висловлення:
З х (х — бравий солдат).
Таке висловлення читається так: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що х — бравий солдат».
Саме вживання кванторів робить логіку предикатів багатшою та цікавішою за логіку висловлень. Використовуючи квантор існування, запишемо наведене висловлення більш строго:
Зх Р(х),
де Р(х) — предикат «х є бравий солдат».
Тепер з’ясуємо значення цієї формули як істину, якщо існує елемент певної предметної області, для якого Р(х) істинне, і як лож у протилежному випадку. Тоді якщо Р (х) — визначена формула логіки предикатів, то формула З х Р (х) також є визначеною й від значення х не залежить.
Формула 3 х Р(х) читається так: «Існує такий х, що Р від х». Використання цієї формули дає змогу стверджувати, що 3 х Р (х) — форма істинного висловлення для всіх предикатів Р(х), крім одного — ложного. Річ у тім, що у формулах 3 х Р(х) та V х Р(х) квантори зв’язують змінну х, тобто, незважаючи на те що в записах формул 3 х Р (х) та V х Р (х) вживається літера х, що позначає змінну, обидві ці формули позначають саме висловлення, а не пропозиційні функції. Отже, ці формули від змінної х більше не залежать. Потрапляючи в область дії квантора, змінна втрачає свою «свободу» і стає зв’язаною змінною. Така змінна не є змінною у власному розумінні цього слова, її наявність у формулі потрібна лише для того, щоб вказати, з якого предиката дане висловлення утворено. Значення цієї псевдозмінної строго визначене й вже не залежить від контексту.
З пропозиційної функції «х — кухар-окультист» за Допомогою квантора загальності можна одержати висловлення про всіх індивідуумів, знайомих з особливим станом голодних духів і з трансміграцією душ, а саме:
Vx (х — кухар-окультист).
Таке висловлення читається так: «Всі х володіють властивістю бути кухарем-окультистом». Запишемо цей вираз:
УхР(х).
Ця формула читається як «Усі х мають властивість Р(х)». Стосовно кухарів-окультистів, яких в австро-угор-ській армії шанували, дана формула розшифровується так: «Усі солдати є (в душі) кухарями-окультистами (мають властивість бути кухарем-окультистом)». Людям, які мислять критично, зрозуміло, що це висловлення не відповідає дійсності і, отже, є ложним.
Замінивши квантор загальності на квантор існування, маємо істинне висловлення: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що Р від х». Або: «Існує хоча б один індивідуум (солдат) на ім’я Юрайда, для якого правильно, що Юрайда — кухар-окультист».
За допомогою квантора загальності висловлюється думка про те, що кожний індивід певної предметної області має загальну для всіх індивідів цієї області властивість. Інакше кажучи, загальне висловлення — це висловлення, яке констатує, що кожний індивід предметної області має певну властивість. Таке висловлення істинне тільки тоді, коли за будь-якого набору значень його змінних із пропозиційної функції, яку воно містить, мають істинне висловлення.
Перекладаючи це на теоретико-множинну мову, можна сказати: якщо множина складається зі скінченного числа об’єктів, то висловлення про ці об’єкти за формулою Vx P(x) записується у вигляді кон’юнкції одиничних (простих) висловлень. Так, нехай множина М містить п’ять елементів (об’єктів): av a2, av а4, а5. У цьому випадку
висловлення форми \/хР{х) рівносильне складному висловленню форми
Р(а{)& Р (а2) & Р (а.) & Р (аА) & Р (as).
Незважаючи на те що квантор загальності можна застосовувати до нескінченних множин, з практичною мето
його зручніше вживати як узагальнення якогось скінченного числа одиничних висловлень.
Квантор існування також узагальнює, але узагальнює не операцію кон’юнкції, а операцію диз’юнкції. Розглянемо приклад.
Нехай М— скінченна множина {М= {о,, а2, а3, <74, о5})-Тоді
значення істинності висловлення форми 3 хР(х) збігається із значенням істинності диз’юнкції всіх одиничних висловлень для всіх о з М, тобто
З ІР(І) = Р(а,) v P(a2) v P{a3) v Я(о4) v Р{а5).
У деяких висловленнях можуть мати місце обидва типи кванторів, наприклад:
V х 3 у R{x, у) (х — учитель у).
Якщо індивідна область — це область людей, то даний запис читають так: «Кожна людина має вчителя».
Запам’ятаємо, що квантори зв’язують усі наявні в області їхньої дії змінні. Тому наявність кванторів дає змогу легко й швидко визначити, чим є вирази логіки предикатів — висловленнями чи пропозиційними функціями. Для цього перевіряють, чи перебуває в області дії квантора кожна змінна, що належить до пропозиційної функції. Розглянемо, як це здійснюється.
Нехай R (х, у) — якийсь двомісний предикат, означений на певній множині М. Квантори V і З можна застосовувати до цього предиката як для змінної х, так і для змінної у, а саме:
V х R (х, у); З у R (х, у); 3 х R (x, y);3x\f yR (x, у).
Змінна, до якої застосовується квантор, вважається зв’язаною, а інша змінна — вільною, але може бути й так, Що обидві змінні зв’язані (наприклад: V х 3 у R (х, у); V х V у R (х, у)).
У всіх випадках вживання квантора за однією із змінних двомісного предиката форми R (х, у) відбувається перетворення цього предиката на одномісний, оскільки одна змінна не включається в область дії квантора. Вживання квантора за всіма змінними, крім однієї, перетворює будь-який л-місний предикат на (п — 1)-місний.
Між кванторами V і З мають місце відношення, які дають змогу зводити один квантор до іншого. Наприклад:
^VxP(x) = Зх Р(х);
~>ЗхР(х)щ \/х^ Р(х).
Коли мова заходить про властивості й відношення взагалі, виникає потреба в розширенні логіки предикатів і її j символіки. Це розширення полягає в тому, що символи логіки предикатів, які позначають властивості й відношення, можна вживати як змінні й зв’язувати кванторами. Відповідно до цього висловлення «Існують властивості, : притаманні всім індивідам» можна виразити формулою
З РУхР(х).
Щоб одержати висловлення з пропозиційних функцій, в яких є предикатні змінні, що вказують на властивості й відношення, слід пам’ятати правило: висловлення з про-позиційної функції матимемо тоді й тільки тоді, коли всі: наявні в ній вільні змінні, у тому числі й змінні для позначення властивостей і відношень, будуть замінені конкретними іменами або зв’язані кванторами. При цьому замість предикатної змінної підставляють не власні імена, а загальні, які можуть відрізняти елементи одного класу від елементів іншого класу (класів).
Вирази, в яких не тільки індивідні, але й предикатні змінні зв’язані кванторами V і 3, належать до логіки предикатів другого ступеня (порядку). Остання містить також предикати предикатів, що збільшує її виражальні можливості, оскільки властивості індивідів самі мають певні властивості, які, у свою чергу, перебувають у певних відношеннях між собою.
Отже, крім властивостей індивідів, є:
властивості властивостей;
властивості відношень;
відношення між властивостями;
відношення між відношеннями;
відношення між властивостями й відношеннями



Популярні глави цього підручника:



Всі глави цього підручника:

Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій)