Головна Головна -> Підручники -> Підручник Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій) скачати онлайн-> ГЛАВА 5. НОВІ ЛОГІЧНІ ІДЕЇ І СИСТЕМИ § 20. Розвиток ідей математичного конструктивізму

ГЛАВА 5. НОВІ ЛОГІЧНІ ІДЕЇ І СИСТЕМИ § 20. Розвиток ідей математичного конструктивізму



На початку XX ст. голландський математик Л. Е. Я. Брауер (1881— 1966) висловив сумнів у тому, що закони класичної логіки мають абсолютну істинність. Він запропонував сміливу програму, покликану повернути математикам упевненість, котра похитнулася з відкриттям парадоксів у теорії множин. Ця програма дістала назву інтуїціонізму.
Брауер був упевнений, що основу математики становлять не логічні конструкції, що їх так підносив Д. Гільберт, а інтуїція, яка робить математичні поняття й висновки безпосередньо ясними.
Щоправда, з часом з’ясувалося, що слово «інтуїція» і пов’язаний з ним термін «інтуїціонізм» не є позитивними покажчиками нового напряму розвитку математичної думки, та, зрештою, чим вони гірші за «кінви» Гільберта? Справу було зроблено. Брауер рішуче ламає традиційні уявлення про логіку та її зв’язки з математикою. Своїми інтуїціоністськими поглядами він нещадно трощить логічний закон виключеного третього.
Здавна вважалося, що процес пізнання має завершуватися ствердженням чи запереченням щодо предметної області, яка вивчається, тобто істинним має виявитися одне з двох протилежних суджень О v -і р). А Брауер наполягає на тому, що є й третя можливість — щось середнє між р і не-р (-і р). Виходячи з його логіки міркувань, • розглянемо приклад.
Нехай у якійсь множині М існує елемент із властивістю F. Якщо ця множина скінченна, то можна перебрати всі її елементи й однозначно визначити: або в М існує елемент із властивістю F, або всі елементи з М цієї властивості не мають. Таким чином доводять справедливість закону виключеного третього для скінченних (зчисленних) множин. З’ясуємо, чи справедливий цей закон для нескінченних множин.
Брауер вважає, що такий закон не підходить для розуміння нескінченних множин, аргументуючи це тим, що перебрати елементи нескінченної множини неможливо. Навіть якщо в процесі перебирання знайдено елемент із властивістю F, буде виконано лише першу альтернативу. Цього не досить для абсолютної впевненості в справедливості закону виключеного третього, адже йдеться про нескінченну множину, у надрах якої є багато непередбаченого. Тому про другу альтернативу нічого певного сказати не можна.
Довідавшись про програмні заяви свого учня, Гільберт сказав, що вилучити з математики принцип виключеного третього — однаково, що заборонити астроному користуватися телескопом, а боксеру — кулаками.
Зазначимо, що у математиці теореми зазвичай доводяться зведенням заперечення доводжуваної теореми до суперечності. Отже, без закону виключеного третього обійтись ніяк не можна.
За Брауером, математичні твердження, згідно з якими об’єкт, котрий має дану властивість, існує, означають, що відомий метод, який дає змогу хоча б у принципі побудувати такий математичний об’єкт.
Фактично Гільберт повністю погодився з Брауером стосовно того, що переважна більшість математичних тверджень ґрунтується на інтуїтивній очевидності. Проте Гільберт наполягав на тому, що ряд тверджень, які не мають інтуїтивного (змістовного) смислу, конче необхідні для математики. Його наполегливість пояснюється прагненням довести несуперечність усієї системи математики, а не якогось фрагмента математичного знання. Але як можна бути впевненим у тому, що запропонована Гільбертом формалізація здатна подолати всі без винятку суперечності?
На це запитання відповів К. Гедель, довівши, що формалізм — зовсім не всесильний засіб. За словами Г. Вейля, Гільбертові як прихильнику аксіоматичного методу, мабуть, важко було визнати, що питання про несуперечність доводилось розв’язувати за допомогою інтуїтивного міркування, побудованого не на аксіомах, а на очевидності.
Американський вчений С. Кліні, автор однієї з перших життєздатних формальних систем інтуїціоністського аналізу, характеризує сучасний інтуїціонізм як яскравий прояв так званої конструктивної тенденції в математиці. Ця тенденція до Брауера мала місце у працях німецького математика Л. Кронекера (1823—1891), французького математика А. Пуанкаре (1854— 1912) та інших математиків.

Розвиток ідей математичного конструктивізму змусив Брауера відкинути традиційну переконаність у придатності класичної логіки для математики й взятися за побудову інтуїціоністської математики, відмінної від традиційної.
У 30-ті роки XX ст. конструктивна тенденція у математиці набула вигляду загальної теорії конструктивних процесів, чи алгоритмів для числення функцій. Цю теорію називають теорією загально рекурсивних функцій. Великий внесок у її розвиток зробили К. Гедель, А. Черч, С. Кліні, А. Тьюрінг, Е. Пост, А. А. Марков.
За Брауером, математика має складатися з інтуїтивних міркувань на основі смислу пропозицій (висловлень), що належать до математичних об’єктів, а не набирати вигляду формальної дедукції з формально встановлених аксіом. Брауер був переконаний, що математичне мислення — це особливий процес побудови математичних об’єктів, процес, що не залежить від досвіду й базується на фундаментальній математичній інтуїції. Математичні думки (ідеї) не залежать від мови і їх не можна сповна виразити в жодній мові, оскільки вони своїм корінням сягають у глибини немовного людського розуму. Оскільки логіка належить до окремого виду штучної мови, вона не може конкурувати з математичною інтуїцією, тобто не може бути надійним інструментом для відкриття математичних істин. Логіка похідна, залежна від математики, а не навпаки. Дійшовши такого висновку, Брауер відкидає математичну задачу виведення висновків із аксіом. Це означає, що він відкидає в принципі аксіоматизацію математики й тим самим кидає виклик Гільбертові.
Отже, за Брауером, якщо знання математики не вимагає знання формальних доказів, то парадокси, виявлені в теоріях Б. Расселом та іншими вченими, є скоріше дефектами логіки, а не власне математики. Тому, як зазначає американський математик М. Клайн, проблема несупе-речності для Брауера — це своєрідний привид.
Кліні писав, що Брауер, виходячи з філософських передумов, вважав: різноманітність математичних конструкцій не може бути обмежена якоюсь фіксованою формальною системою. Пізніше погляди Кліні дістали підтвердження: Гедель довів, що всякий логіко-матема-тичний формалізм неповний. У такому разі й формальна система інтуїціоністської математики не є повною. Проте справа обмежувалася не тільки цим. Хоча не Брауерові та його послідовникам вдалося позитивно переписати деякі розділи математики, однак запропоновані ними конструктивні варіанти були настільки складними й громіздкими, що засмутили навіть самих інтуїціоністів.
Таким чином, вважають інтуїціоністи, математичному розгляду підлягають тільки конструктивні об’єкти та поняття про них. Для цього слід указати метод, за яким можна побудувати (сконструювати) той чи інший математичний об’єкт за скінченне число кроків.
Частина математиків, які симпатизували інтуїціонізму, спробували звільнити його від деяких крайнощів і примирити класичну логіку з конструктивними тенденціями в контексті інтуїціонізму. Цей напрям у науці дістав назву конструкціонізму (конструктивізму). І хоча конструктивісти досягли певних успіхів, багато математиків вважають, що перспективи поширити конструктивістський підхід на всю сучасну математику не можна вважати здійсненними. До того ж саме базисне поняття «конструктивність» не є чітким і однозначним, що періодично викликає бурхливу полеміку в лавах конструктивістів.
У 1930 р. голландський математик А. Гейтінг, один із найвідоміших представників інтуїціонізму після Брауера, опублікував працю з викладенням формальних правил інтуїціоністської логіки висловлень, яка, за словами Клай-на, стала своєрідним символічним виявленням наміру налагодити відносини взаєморозуміння з формальними логіками.
У логіці Гейтінга з істинності висловлення вигляду р випливає: неправильно, що р ложне. Однак із цього твердження ще не випливає, що р істинне, бо висловлення вигляду р може виявитися неконструктивним, тобто закон виключеного третього в логіці Гейтінга не використовується.
Формалізація Гейтінга була не єдиною. Вже в середині 30-х років XX ст. німецький математик Г. Генцен здійснив нову формалізацію інтуїціоністської логіки. Пізніше було доведено, що частина інтуїціоністської математики може бути виражена тією самою мовою, що й відповідний фрагмент класичного математичного аналізу.








Популярні глави цього підручника:



Всі глави цього підручника:

Вступ до сучасної логіки (Конспект лекцій)